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- Ein Verband ist in der Mathematik eine Struktur, die sowohl als Ordnungsstruktur als auch als algebraische Struktur vollständig beschrieben werden kann.Als Ordnungsstruktur ist ein Verband dadurch gekennzeichnet, dass es zu je zwei Elementen , ein Supremum gibt, d. h. ein eindeutig bestimmtes kleinstes Element, das größer oder gleich und ist, und umgekehrt ein Infimum , ein größtes Element, das kleiner oder gleich und ist.Als algebraische Struktur ist ein Verband dadurch gekennzeichnet, dass es zwei assoziative und kommutative Operationen gibt, für die die Absorptionsgesetze kennzeichnend sind: Für beliebige Elemente gilt und . Für jede in der Verbandstheorie vorkommende algebraische Aussage gibt es eine direkte Übersetzung in eine Ordnungsaussage und umgekehrt. Diese Übersetzung ist in den meisten Fällen auch anschaulich nachzuvollziehen.Die Möglichkeit, Ergebnisse doppelt zu interpretieren und dadurch besser zu verstehen, macht die Untersuchung und die Verwendung von Aussagen aus der Verbandstheorie so interessant. Der Begriff Verband wurde im hier beschriebenen Sinne von Fritz Klein-Barmen geprägt. Obwohl diese doppelte Charakterisierung auf den ersten Blick sehr speziell aussieht, treten Verbände häufig auf:
* die z. B. in der Mengenlehre, der Logik und als Schaltalgebren auftretenden Booleschen Algebren sind Verbände.
* totale Ordnungen, die z. B. in den verschiedenen Zahlbereichen wie (natürliche Zahlen), (ganze Zahlen), (rationale Zahlen) oder (reelle Zahlen) auftreten, sind Verbände.
* für jede beliebige natürliche Zahl ist die Menge der Teiler (durch die Teilbarkeit geordnet) ein Verband.
* die Unterstrukturen einer beliebigen algebraischen oder sonstigen Struktur bilden einen Verband mit der Teilmengenrelation als Ordnung. In der Literatur sind auch die Symbole und verbreitet. Diese Notation wird hier aufgrund von technischen Einschränkungen nicht verwendet. (de)
- Ein Verband ist in der Mathematik eine Struktur, die sowohl als Ordnungsstruktur als auch als algebraische Struktur vollständig beschrieben werden kann.Als Ordnungsstruktur ist ein Verband dadurch gekennzeichnet, dass es zu je zwei Elementen , ein Supremum gibt, d. h. ein eindeutig bestimmtes kleinstes Element, das größer oder gleich und ist, und umgekehrt ein Infimum , ein größtes Element, das kleiner oder gleich und ist.Als algebraische Struktur ist ein Verband dadurch gekennzeichnet, dass es zwei assoziative und kommutative Operationen gibt, für die die Absorptionsgesetze kennzeichnend sind: Für beliebige Elemente gilt und . Für jede in der Verbandstheorie vorkommende algebraische Aussage gibt es eine direkte Übersetzung in eine Ordnungsaussage und umgekehrt. Diese Übersetzung ist in den meisten Fällen auch anschaulich nachzuvollziehen.Die Möglichkeit, Ergebnisse doppelt zu interpretieren und dadurch besser zu verstehen, macht die Untersuchung und die Verwendung von Aussagen aus der Verbandstheorie so interessant. Der Begriff Verband wurde im hier beschriebenen Sinne von Fritz Klein-Barmen geprägt. Obwohl diese doppelte Charakterisierung auf den ersten Blick sehr speziell aussieht, treten Verbände häufig auf:
* die z. B. in der Mengenlehre, der Logik und als Schaltalgebren auftretenden Booleschen Algebren sind Verbände.
* totale Ordnungen, die z. B. in den verschiedenen Zahlbereichen wie (natürliche Zahlen), (ganze Zahlen), (rationale Zahlen) oder (reelle Zahlen) auftreten, sind Verbände.
* für jede beliebige natürliche Zahl ist die Menge der Teiler (durch die Teilbarkeit geordnet) ein Verband.
* die Unterstrukturen einer beliebigen algebraischen oder sonstigen Struktur bilden einen Verband mit der Teilmengenrelation als Ordnung. In der Literatur sind auch die Symbole und verbreitet. Diese Notation wird hier aufgrund von technischen Einschränkungen nicht verwendet. (de)
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- 0-8218-1025-1
- 0821831216
- 978-3658006181
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| dbo:originalTitle
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- Einführung in die Verbandstheorie (de)
- Lattice Theory (de)
- Ordered Sets and Lattices (de)
- Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen; 2. Auflage (de)
- Einführung in die Verbandstheorie (de)
- Lattice Theory (de)
- Ordered Sets and Lattices (de)
- Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen; 2. Auflage (de)
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| prop-de:autor
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- Gábor Szász
- Hilda Draškovičová
- Rudolf Berghammer
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| prop-de:bild
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- Hasse diagram of powerset of 3.svg
- KeinVerband.svg
- Lattice M4.svg
- Lattice of partitions of an order 4 set.svg
- Lattice of the divisibility of 60.svg
- Nat num.svg
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- 1967 (xsd:integer)
- 1973 (xsd:integer)
- 1992 (xsd:integer)
- 2012 (xsd:integer)
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| prop-de:kopfzeile
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- Beispiele für Teilerverbände
- Diagramme, die keine Verbände darstellen
- Hasse-Diagramme für einige Verbände
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| prop-de:ort
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- Budapest
- Wiesbaden
- Berlin - Heidelberg
- Providence, RI
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| prop-de:richtung
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| prop-de:untertitel
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- Partitionen der Menge {1,2,3,4}, durch gröber = geordnet
- T12 ist nicht komplementär
- T2 ist Boolesche Algebra
- T30 ist eine Boolesche Algebra
- T4 ist lineare Ordnung
- T6 ist eine Boolesche Algebra
- Verband der Teiler von 60
- Verband der Teilmengen von {x,y,z}
- kein Verband, da b⊔c nicht existiert
- kein Verband, da c⊔d nicht existiert
- Die Menge der natürlichen Zahlen: Total geordnete Mengen sind Verbände
- Verband, der nicht distributiv, aber orthokomplementierbar ist
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| dc:publisher
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- 2te Auflage, Springer-Verlag
- 3rd Edition, AMS
- AMS
- Akademiai Kiado
- Springer+Vieweg
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- Ein Verband ist in der Mathematik eine Struktur, die sowohl als Ordnungsstruktur als auch als algebraische Struktur vollständig beschrieben werden kann.Als Ordnungsstruktur ist ein Verband dadurch gekennzeichnet, dass es zu je zwei Elementen , ein Supremum gibt, d. h. ein eindeutig bestimmtes kleinstes Element, das größer oder gleich und ist, und umgekehrt ein Infimum , ein größtes Element, das kleiner oder gleich und und . Obwohl diese doppelte Charakterisierung auf den ersten Blick sehr speziell aussieht, treten Verbände häufig auf: (natürliche Zahlen), (ganze Zahlen), (rationale Zahlen) oder und (de)
- Ein Verband ist in der Mathematik eine Struktur, die sowohl als Ordnungsstruktur als auch als algebraische Struktur vollständig beschrieben werden kann.Als Ordnungsstruktur ist ein Verband dadurch gekennzeichnet, dass es zu je zwei Elementen , ein Supremum gibt, d. h. ein eindeutig bestimmtes kleinstes Element, das größer oder gleich und ist, und umgekehrt ein Infimum , ein größtes Element, das kleiner oder gleich und und . Obwohl diese doppelte Charakterisierung auf den ersten Blick sehr speziell aussieht, treten Verbände häufig auf: (natürliche Zahlen), (ganze Zahlen), (rationale Zahlen) oder und (de)
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- Verband (Mathematik) (de)
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