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- Ein Ternärkörper ist eine algebraische Struktur, die in der synthetischen Geometrie als Koordinatenbereich einer beliebigen affinen Ebene dient. Als Menge besteht der Ternärkörper dabei aus den Punkten einer fest gewählten Geraden der Ebene, nämlich der ersten Koordinatenachse des Koordinatensystems, das man auf dieser Ebene einführt. Auf dieser Punktmenge wird durch die Ternärkonstruktion eine dreistellige Verknüpfung definiert, mit der die Gerade die algebraische Struktur eines Ternärkörpers erhält. Umgekehrt gibt es zu jeder Struktur , die die Axiome eines Ternärkörpers erfüllt, eine affine Ebene, deren Punkte die Paare sind und deren Geraden sich als Lösungsmengen von Gleichungen in mit Hilfe der Ternärverknüpfung darstellen lassen. Etwas salopp formuliert: Jede affine Ebene „ist“ eine zweidimensionale Ebene über einem Ternärkörper und zu jeder affinen Ebene gibt es bis auf Isomorphie genau einen Ternärkörper als Koordinatenmenge. Die Mächtigkeit des Ternärkörpers entspricht der Ordnung der zugehörigen affinen Ebene. Ist die affine Ebene eine affine Translationsebene, dann kann ihr Koordinatenternärkörper zu einem Quasikörper gemacht werden, für desarguesche Ebenen ist dies sogar ein Schiefkörper, für pappussche Ebenen ein Körper. Ein Ternärkörper, in dem die Ternärverknüpfung durch eine Addition und eine Multiplikation dargestellt werden kann, wird als linear bezeichnet. Erfüllt in einem linearen Ternärkörper die Addition das Assoziativgesetz, dann wird er als kartesische Gruppe bezeichnet. Quasikörper sind stets kartesische Gruppen. Einen Quasikörper, dessen Multiplikation assoziativ ist, nennt man Fastkörper. Wenn beide Distributivgesetze gelten, wird der Quasikörper in der Geometrie als Halbkörper bezeichnet. Alternativkörper sind stets solche Halbkörper, Schiefkörper sind stets Alternativkörper. Die hier beschriebenen Koordinatenbereiche, die in der synthetischen Geometrie als Koordinatenkörper bezeichnet werden, auch wenn sie nicht Körper im algebraischen Sinn sind, können auch zur Einführung von projektiven Koordinaten auf einer projektiven Ebene benutzt werden. Der Zusammenhang zwischen affinen und projektiven Schließungssätzen und den Folgerungen für die algebraische Struktur des Koordinatenbereichs der Ebenen, die den Schließungssatz erfüllen, wird im vorliegenden Artikel dargestellt und weiter unten im Abschnitt zusammengefasst. Bei der Klassifikation projektiver Ebenen stellt sich heraus, dass jeder Klasse von projektiven Ebenen (im Sinne der Klassifizierung nach Hanfried Lenz) eine Klasse von Koordinatenbereichen mit jeweils für diese Ebenenklasse charakteristischen Zusatzeigenschaften zugeordnet werden kann. Im vorliegenden Artikel werden Algebraisierungen von affinen Ebenen beschrieben, die auf einem Koordinatensystem beruhen, und die Verknüpfungen, die sich durch die geometrische Struktur auf einer Koordinatenachse ergeben. Ein anderer Zugang, der sich vor allem für nichtdesarguesche affine Translationsebenen als fruchtbar erweist, besteht darin, gewisse, nämlich die spurtreuen, Endomorphismen der Translationsgruppe algebraisch zu beschreiben. Dieser Ansatz führt bei desargueschen Ebenen zu einem Schiefkörper, der isomorph zu dem im vorliegenden Artikel beschriebenen Koordinatenschiefkörper ist.Dieser andere Zugang wird im Hauptartikel Affine Translationsebene beschrieben. Für eine synonyme Algebraisierung von affinen Ebenen, insbesondere der nichtdesargueschen, ohne dezidierte Auszeichnung eines Koordinatensystems wird auf den Hauptartikel Geometrische Relationenalgebra verwiesen. (de)
- Ein Ternärkörper ist eine algebraische Struktur, die in der synthetischen Geometrie als Koordinatenbereich einer beliebigen affinen Ebene dient. Als Menge besteht der Ternärkörper dabei aus den Punkten einer fest gewählten Geraden der Ebene, nämlich der ersten Koordinatenachse des Koordinatensystems, das man auf dieser Ebene einführt. Auf dieser Punktmenge wird durch die Ternärkonstruktion eine dreistellige Verknüpfung definiert, mit der die Gerade die algebraische Struktur eines Ternärkörpers erhält. Umgekehrt gibt es zu jeder Struktur , die die Axiome eines Ternärkörpers erfüllt, eine affine Ebene, deren Punkte die Paare sind und deren Geraden sich als Lösungsmengen von Gleichungen in mit Hilfe der Ternärverknüpfung darstellen lassen. Etwas salopp formuliert: Jede affine Ebene „ist“ eine zweidimensionale Ebene über einem Ternärkörper und zu jeder affinen Ebene gibt es bis auf Isomorphie genau einen Ternärkörper als Koordinatenmenge. Die Mächtigkeit des Ternärkörpers entspricht der Ordnung der zugehörigen affinen Ebene. Ist die affine Ebene eine affine Translationsebene, dann kann ihr Koordinatenternärkörper zu einem Quasikörper gemacht werden, für desarguesche Ebenen ist dies sogar ein Schiefkörper, für pappussche Ebenen ein Körper. Ein Ternärkörper, in dem die Ternärverknüpfung durch eine Addition und eine Multiplikation dargestellt werden kann, wird als linear bezeichnet. Erfüllt in einem linearen Ternärkörper die Addition das Assoziativgesetz, dann wird er als kartesische Gruppe bezeichnet. Quasikörper sind stets kartesische Gruppen. Einen Quasikörper, dessen Multiplikation assoziativ ist, nennt man Fastkörper. Wenn beide Distributivgesetze gelten, wird der Quasikörper in der Geometrie als Halbkörper bezeichnet. Alternativkörper sind stets solche Halbkörper, Schiefkörper sind stets Alternativkörper. Die hier beschriebenen Koordinatenbereiche, die in der synthetischen Geometrie als Koordinatenkörper bezeichnet werden, auch wenn sie nicht Körper im algebraischen Sinn sind, können auch zur Einführung von projektiven Koordinaten auf einer projektiven Ebene benutzt werden. Der Zusammenhang zwischen affinen und projektiven Schließungssätzen und den Folgerungen für die algebraische Struktur des Koordinatenbereichs der Ebenen, die den Schließungssatz erfüllen, wird im vorliegenden Artikel dargestellt und weiter unten im Abschnitt zusammengefasst. Bei der Klassifikation projektiver Ebenen stellt sich heraus, dass jeder Klasse von projektiven Ebenen (im Sinne der Klassifizierung nach Hanfried Lenz) eine Klasse von Koordinatenbereichen mit jeweils für diese Ebenenklasse charakteristischen Zusatzeigenschaften zugeordnet werden kann. Im vorliegenden Artikel werden Algebraisierungen von affinen Ebenen beschrieben, die auf einem Koordinatensystem beruhen, und die Verknüpfungen, die sich durch die geometrische Struktur auf einer Koordinatenachse ergeben. Ein anderer Zugang, der sich vor allem für nichtdesarguesche affine Translationsebenen als fruchtbar erweist, besteht darin, gewisse, nämlich die spurtreuen, Endomorphismen der Translationsgruppe algebraisch zu beschreiben. Dieser Ansatz führt bei desargueschen Ebenen zu einem Schiefkörper, der isomorph zu dem im vorliegenden Artikel beschriebenen Koordinatenschiefkörper ist.Dieser andere Zugang wird im Hauptartikel Affine Translationsebene beschrieben. Für eine synonyme Algebraisierung von affinen Ebenen, insbesondere der nichtdesargueschen, ohne dezidierte Auszeichnung eines Koordinatensystems wird auf den Hauptartikel Geometrische Relationenalgebra verwiesen. (de)
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