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- Wenn ein Kreis vom Radius außen auf einem Kreis vom Radius abrollt, beschreibt ein Punkt auf dem Kreisumfang eine Epizykloide, ein Spezialfall einer Zykloide. Auf diese Weise lassen sich mandalaähnliche Figuren zeichnen, die auch Blumen ähneln. Für die mathematische Beschreibung einer Epizykloide braucht man – da es sich um Winkeländerungen handelt – trigonometrische Ausdrücke. Die Gleichung einer Epizykloide lautet deshalb: Dabei ist
* der Radius des außen bewegten Kreises,
* ist der Radius des inneren Kreises,
* der Polarwinkel des Punktes, an dem sich die beiden Kreise berühren,
* und die Koordinaten des Punktes auf der Epizykloide. Wenn eine ganze Zahl ist, erhalten wir nach einer Umdrehung eine geschlossene Kurve. Wir setzen . Dann können wir die Gleichung einfacher schreiben: Der Radius R (oben die Zahl b) des folgenden Schaubildes ist der Radius des großen inneren Kreises. Der Radius des kleinen Kreises ist r (oben die Zahl a). Links ergibt der eine ganze Zahl, deswegen überlappen sich die „Blütenblätter“ links nicht und die Kurve ist geschlossen. Rechts überlappen sich aber die „Blütenblätter“, d. h. die Kurve ist nicht geschlossen da = 2,5. wird auch Ordnung der Epizykloide genannt: Wenn man den Punkt sucht, der dem gerade gezeichneten gegenüberliegt und eine ganze Zahl ist, so kann man die Gleichung in einer alternativen Form angeben: Für die Länge der Epizykloide und den Inhalt der umschlossenen Fläche erhalten wir die Formeln Der Tangentialvektor steht auch hier normal auf den Vektor . Die Evolute hat die Gleichung Das ist die Gleichung der Epizykloide in der alternativen Form, um den Faktor verkleinert. Die Evolute ist also eine verkleinerte, gedrehte Kopie der ursprünglichen Kurve.
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* (Wenn das Verhältnis eine rationale Zahl ist, schließt sich die Kurve erst nach mehreren Umdrehungen. Ist es irrational, schließt sie sich nie.) Eine Epizykloide entsteht auch durch die Zusammensetzung von zwei Rotationen, die im selben Drehsinn erfolgen. (de)
- Wenn ein Kreis vom Radius außen auf einem Kreis vom Radius abrollt, beschreibt ein Punkt auf dem Kreisumfang eine Epizykloide, ein Spezialfall einer Zykloide. Auf diese Weise lassen sich mandalaähnliche Figuren zeichnen, die auch Blumen ähneln. Für die mathematische Beschreibung einer Epizykloide braucht man – da es sich um Winkeländerungen handelt – trigonometrische Ausdrücke. Die Gleichung einer Epizykloide lautet deshalb: Dabei ist
* der Radius des außen bewegten Kreises,
* ist der Radius des inneren Kreises,
* der Polarwinkel des Punktes, an dem sich die beiden Kreise berühren,
* und die Koordinaten des Punktes auf der Epizykloide. Wenn eine ganze Zahl ist, erhalten wir nach einer Umdrehung eine geschlossene Kurve. Wir setzen . Dann können wir die Gleichung einfacher schreiben: Der Radius R (oben die Zahl b) des folgenden Schaubildes ist der Radius des großen inneren Kreises. Der Radius des kleinen Kreises ist r (oben die Zahl a). Links ergibt der eine ganze Zahl, deswegen überlappen sich die „Blütenblätter“ links nicht und die Kurve ist geschlossen. Rechts überlappen sich aber die „Blütenblätter“, d. h. die Kurve ist nicht geschlossen da = 2,5. wird auch Ordnung der Epizykloide genannt: Wenn man den Punkt sucht, der dem gerade gezeichneten gegenüberliegt und eine ganze Zahl ist, so kann man die Gleichung in einer alternativen Form angeben: Für die Länge der Epizykloide und den Inhalt der umschlossenen Fläche erhalten wir die Formeln Der Tangentialvektor steht auch hier normal auf den Vektor . Die Evolute hat die Gleichung Das ist die Gleichung der Epizykloide in der alternativen Form, um den Faktor verkleinert. Die Evolute ist also eine verkleinerte, gedrehte Kopie der ursprünglichen Kurve.
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* (Wenn das Verhältnis eine rationale Zahl ist, schließt sich die Kurve erst nach mehreren Umdrehungen. Ist es irrational, schließt sie sich nie.) Eine Epizykloide entsteht auch durch die Zusammensetzung von zwei Rotationen, die im selben Drehsinn erfolgen. (de)
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| rdfs:comment
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- Wenn ein Kreis vom Radius außen auf einem Kreis vom Radius abrollt, beschreibt ein Punkt auf dem Kreisumfang eine Epizykloide, ein Spezialfall einer Zykloide. Auf diese Weise lassen sich mandalaähnliche Figuren zeichnen, die auch Blumen ähneln. Für die mathematische Beschreibung einer Epizykloide braucht man – da es sich um Winkeländerungen handelt – trigonometrische Ausdrücke. Die Gleichung einer Epizykloide lautet deshalb: Dabei ist
* der Radius des außen bewegten Kreises,
* ist der Radius des inneren Kreises,
* der Polarwinkel des Punktes, an dem sich die beiden Kreise berühren,
* und Wenn = 2,5. (de)
- Wenn ein Kreis vom Radius außen auf einem Kreis vom Radius abrollt, beschreibt ein Punkt auf dem Kreisumfang eine Epizykloide, ein Spezialfall einer Zykloide. Auf diese Weise lassen sich mandalaähnliche Figuren zeichnen, die auch Blumen ähneln. Für die mathematische Beschreibung einer Epizykloide braucht man – da es sich um Winkeländerungen handelt – trigonometrische Ausdrücke. Die Gleichung einer Epizykloide lautet deshalb: Dabei ist
* der Radius des außen bewegten Kreises,
* ist der Radius des inneren Kreises,
* der Polarwinkel des Punktes, an dem sich die beiden Kreise berühren,
* und Wenn = 2,5. (de)
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