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- In der Mathematik sind elliptische Kurven spezielle algebraische Kurven, auf denen geometrisch eine Addition definiert ist. Diese Addition wird in der Kryptographie zur Konstruktion sicherer Verschlüsselungsmethoden verwendet. Elliptische Kurven spielen aber auch innermathematisch eine wichtige Rolle. Historisch sind sie durch die Parametrisierung elliptischer Integrale entstanden. Eine elliptische Kurve ist eine glatte algebraische Kurve der Ordnung 3 in der projektiven Ebene. Dargestellt werden elliptische Kurven meist als Kurven in der affinen Ebene, sie besitzen aber noch einen zusätzlichen Punkt im Unendlichen. Elliptische Kurven über dem Körper der reellen Zahlen können als die Menge aller (affinen) Punkte angesehen werden, die die Gleichung erfüllen, zusammen mit einem sogenannten Punkt im Unendlichen (notiert als oder ). Die (reellen) Koeffizienten und müssen dabei die Bedingung erfüllen, um Singularitäten auszuschließen. Im Allgemeinen wird man sich bei der Betrachtung der angegebenen Gleichung aber nicht auf den Fall reeller Koeffizienten und Lösungen beschränken, sondern vielmehr den Fall betrachten, dass Koeffizienten und Lösungen aus einem beliebigen Körper stammen. Interessant sind hierbei insbesondere die Körper der komplexen und der rationalen Zahlen sowie Zahlkörper und endliche Körper. Untersucht wird auch die Frage nach Beziehungen zwischen elliptischen Kurven, bei denen dieselbe Gleichung über verschiedenen Körpern interpretiert wird. Zum Beispiel kann eine durch eine rationale Gleichung beschriebene elliptische Kurve als Kurve über betrachtet werden. In diesem Fall sind die Koeffizienten der Gleichung aus , die elliptische Kurve besteht aber aus allen Lösungen dieser Gleichung in . Die Theorie der elliptischen Kurven verbindet unterschiedlichste Teilgebiete der Mathematik. Die Untersuchung elliptischer Kurven über Zahlkörpern oder endlichen Körper erfordert Grundlagen aus der Geometrie und Algebra. Jede elliptische Kurve über den komplexen Zahlen kann mithilfe eines Gitters in der komplexen Zahlenebene als komplexer Torus dargestellt werden, sodass die algebraische Kurve auch als analytisches Objekt greifbar wird. Der Mathematiker Andrew Wiles bewies im Jahr 1994 den Modularitätssatz, der elliptische Kurven mit Modulformen in Zusammenhang bringt. Aus diesem Satz kann der Beweis eines bekannten zahlentheoretischen Problems (Fermats letzter Satz) gefolgert werden. Praktische Anwendung finden elliptische Kurven in modernen Verschlüsselungsverfahren (Elliptische-Kurven-Kryptosystem), da mit ihrer Hilfe sogenannte Einwegfunktionen definiert werden können. Weitere Anwendungen finden sich bei der Faktorisierung natürlicher Zahlen. (de)
- In der Mathematik sind elliptische Kurven spezielle algebraische Kurven, auf denen geometrisch eine Addition definiert ist. Diese Addition wird in der Kryptographie zur Konstruktion sicherer Verschlüsselungsmethoden verwendet. Elliptische Kurven spielen aber auch innermathematisch eine wichtige Rolle. Historisch sind sie durch die Parametrisierung elliptischer Integrale entstanden. Eine elliptische Kurve ist eine glatte algebraische Kurve der Ordnung 3 in der projektiven Ebene. Dargestellt werden elliptische Kurven meist als Kurven in der affinen Ebene, sie besitzen aber noch einen zusätzlichen Punkt im Unendlichen. Elliptische Kurven über dem Körper der reellen Zahlen können als die Menge aller (affinen) Punkte angesehen werden, die die Gleichung erfüllen, zusammen mit einem sogenannten Punkt im Unendlichen (notiert als oder ). Die (reellen) Koeffizienten und müssen dabei die Bedingung erfüllen, um Singularitäten auszuschließen. Im Allgemeinen wird man sich bei der Betrachtung der angegebenen Gleichung aber nicht auf den Fall reeller Koeffizienten und Lösungen beschränken, sondern vielmehr den Fall betrachten, dass Koeffizienten und Lösungen aus einem beliebigen Körper stammen. Interessant sind hierbei insbesondere die Körper der komplexen und der rationalen Zahlen sowie Zahlkörper und endliche Körper. Untersucht wird auch die Frage nach Beziehungen zwischen elliptischen Kurven, bei denen dieselbe Gleichung über verschiedenen Körpern interpretiert wird. Zum Beispiel kann eine durch eine rationale Gleichung beschriebene elliptische Kurve als Kurve über betrachtet werden. In diesem Fall sind die Koeffizienten der Gleichung aus , die elliptische Kurve besteht aber aus allen Lösungen dieser Gleichung in . Die Theorie der elliptischen Kurven verbindet unterschiedlichste Teilgebiete der Mathematik. Die Untersuchung elliptischer Kurven über Zahlkörpern oder endlichen Körper erfordert Grundlagen aus der Geometrie und Algebra. Jede elliptische Kurve über den komplexen Zahlen kann mithilfe eines Gitters in der komplexen Zahlenebene als komplexer Torus dargestellt werden, sodass die algebraische Kurve auch als analytisches Objekt greifbar wird. Der Mathematiker Andrew Wiles bewies im Jahr 1994 den Modularitätssatz, der elliptische Kurven mit Modulformen in Zusammenhang bringt. Aus diesem Satz kann der Beweis eines bekannten zahlentheoretischen Problems (Fermats letzter Satz) gefolgert werden. Praktische Anwendung finden elliptische Kurven in modernen Verschlüsselungsverfahren (Elliptische-Kurven-Kryptosystem), da mit ihrer Hilfe sogenannte Einwegfunktionen definiert werden können. Weitere Anwendungen finden sich bei der Faktorisierung natürlicher Zahlen. (de)
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- The Arithmetic of Elliptic Curves (de)
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- Umfassende Einführung in elliptische Kurven und ECC als Sage-Notebook .
- Software zur Veranschaulichung von elliptischen Kurven und deren Gruppenstruktur.
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- In der Mathematik sind elliptische Kurven spezielle algebraische Kurven, auf denen geometrisch eine Addition definiert ist. Diese Addition wird in der Kryptographie zur Konstruktion sicherer Verschlüsselungsmethoden verwendet. Elliptische Kurven spielen aber auch innermathematisch eine wichtige Rolle. Historisch sind sie durch die Parametrisierung elliptischer Integrale entstanden. Elliptische Kurven über dem Körper der reellen Zahlen können als die Menge aller (affinen) Punkte angesehen werden, die die Gleichung erfüllen, zusammen mit einem sogenannten Punkt im Unendlichen (notiert als oder und . (de)
- In der Mathematik sind elliptische Kurven spezielle algebraische Kurven, auf denen geometrisch eine Addition definiert ist. Diese Addition wird in der Kryptographie zur Konstruktion sicherer Verschlüsselungsmethoden verwendet. Elliptische Kurven spielen aber auch innermathematisch eine wichtige Rolle. Historisch sind sie durch die Parametrisierung elliptischer Integrale entstanden. Elliptische Kurven über dem Körper der reellen Zahlen können als die Menge aller (affinen) Punkte angesehen werden, die die Gleichung erfüllen, zusammen mit einem sogenannten Punkt im Unendlichen (notiert als oder und . (de)
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- Elliptische Kurve (de)
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