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- Als Paradoxon von Achilles und der Schildkröte wird einer von mehreren bekannten Trugschlüssen bezeichnet, die dem antiken griechischen Philosophen Zenon von Elea zugeschrieben werden (weitere siehe dort). Darin wird versucht zu belegen, dass ein schneller Läufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkröte niemals einholen könne, wenn er ihr einen Vorsprung gewähre. Der Gang des Arguments ist folgender: Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen – noch kleineren – Weg-Vorsprung gewonnen, und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähert, sie aber niemals einholen und somit auch nicht überholen könne. Tatsächlich wird ein Schnellerer einen Langsameren aber immer einholen, sofern er dafür nur genügend Zeit hat. Diese ist proportional zum Vorsprung und umgekehrt proportional zur Geschwindigkeitsdifferenz der beiden Läufer oder bei gleichbleibendem Verhältnis, umgekehrt proportional zu den beiden Geschwindigkeiten. Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern: 1.
* Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann. 2.
* Der Weg – vor dem Einholpunkt –, den Achilles zurückgelegt hat, kann beliebig oft – potenziell unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft vorgenommen werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen. Es gibt unterschiedliche Ansichten darüber, was Zenon mit seinen „Paradoxien“ zeigen wollte. Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe Parmenides von Elea) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei. Sicher ist jedoch, dass diese antike Überlegung zur Begriffsbildung der Unendlichkeit beigetragen hat und auch heute noch als Lehrbeispiel verwendet wird. Das Paradoxon ist nicht direkt überliefert, sondern findet sich in Aristoteles’ Physik und Simplikios’ Kommentar dazu. Verwandte Paradoxa, die Zenon zugeschrieben werden, sind das Teilungsparadoxon und das Pfeil-Paradoxon. Inhaltlich nicht verwandt mit dem Zenonischen Paradox ist ein von Lewis Carroll in seinem kurzen Dialog What the Tortoise Said to Achilles (Was die Schildkröte zu Achilles sagte) vorgestelltes Argument, mit dem er den Unterschied zwischen objekt- und metasprachlicher Implikation thematisiert und das gelegentlich als Carroll-Paradox bezeichnet wird. (de)
- Als Paradoxon von Achilles und der Schildkröte wird einer von mehreren bekannten Trugschlüssen bezeichnet, die dem antiken griechischen Philosophen Zenon von Elea zugeschrieben werden (weitere siehe dort). Darin wird versucht zu belegen, dass ein schneller Läufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkröte niemals einholen könne, wenn er ihr einen Vorsprung gewähre. Der Gang des Arguments ist folgender: Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen – noch kleineren – Weg-Vorsprung gewonnen, und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähert, sie aber niemals einholen und somit auch nicht überholen könne. Tatsächlich wird ein Schnellerer einen Langsameren aber immer einholen, sofern er dafür nur genügend Zeit hat. Diese ist proportional zum Vorsprung und umgekehrt proportional zur Geschwindigkeitsdifferenz der beiden Läufer oder bei gleichbleibendem Verhältnis, umgekehrt proportional zu den beiden Geschwindigkeiten. Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern: 1.
* Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann. 2.
* Der Weg – vor dem Einholpunkt –, den Achilles zurückgelegt hat, kann beliebig oft – potenziell unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft vorgenommen werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen. Es gibt unterschiedliche Ansichten darüber, was Zenon mit seinen „Paradoxien“ zeigen wollte. Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe Parmenides von Elea) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei. Sicher ist jedoch, dass diese antike Überlegung zur Begriffsbildung der Unendlichkeit beigetragen hat und auch heute noch als Lehrbeispiel verwendet wird. Das Paradoxon ist nicht direkt überliefert, sondern findet sich in Aristoteles’ Physik und Simplikios’ Kommentar dazu. Verwandte Paradoxa, die Zenon zugeschrieben werden, sind das Teilungsparadoxon und das Pfeil-Paradoxon. Inhaltlich nicht verwandt mit dem Zenonischen Paradox ist ein von Lewis Carroll in seinem kurzen Dialog What the Tortoise Said to Achilles (Was die Schildkröte zu Achilles sagte) vorgestelltes Argument, mit dem er den Unterschied zwischen objekt- und metasprachlicher Implikation thematisiert und das gelegentlich als Carroll-Paradox bezeichnet wird. (de)
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