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- Ein trigonometrisches Polynom, auch eine trigonometrische Summe genannt, ist in der reellen Analysis eine endliche, reelle Linearkombination der trigonometrischen Funktionen und , wobei die Linearkombination als Funktion für definiert wird. Diese reellwertigen Funktionen lassen auch eine eindeutige (formal) komplexe Darstellung zu, bei der bestimmte komplexe Linearkombinationen aus den Exponentialfunktionen an Stelle der Kosinus- und Sinus-Funktionen gebildet werden. Mit dieser Darstellung werden Rechnungen häufig vereinfacht. Die reellen trigonometrischen Polynome sind Partialsummen von reellen Fourierreihen und spielen unter anderem bei der Lösung von gewöhnlichen, linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und für die diskrete Fouriertransformation eine wichtige Rolle. In der Funktionentheorie, der Funktionalanalysis und in vielen Anwendungen, wie etwa der analytischen Zahlentheorie (siehe in diesem Artikel) wird jede beliebige komplexe Linearkombination von Funktionen mit festem reellen als komplexes trigonometrisches Polynom oder komplexe trigonometrische Summe bezeichnet. Sowohl die reellen als auch die komplexen trigonometrischen Polynome liefern eindeutige Bestapproximationen – zu jedem gegebenen Grad existiert genau eine beste Näherung unter den trigonometrischen Polynomen, die höchstens diesen Grad haben – im quadratischen Mittel für jede Funktion des Funktionenraums, den die erzeugenden trigonometrischen Funktionen jeweils als Orthonormalbasis (Orthogonalsystem) bestimmen. Lässt man in den Linearkombinationen auch unendlich viele nichtverschwindende „Summanden“ zu, dann gelangt man zu den Begriffen einer reellen bzw. komplexen trigonometrischen Reihe. (de)
- Ein trigonometrisches Polynom, auch eine trigonometrische Summe genannt, ist in der reellen Analysis eine endliche, reelle Linearkombination der trigonometrischen Funktionen und , wobei die Linearkombination als Funktion für definiert wird. Diese reellwertigen Funktionen lassen auch eine eindeutige (formal) komplexe Darstellung zu, bei der bestimmte komplexe Linearkombinationen aus den Exponentialfunktionen an Stelle der Kosinus- und Sinus-Funktionen gebildet werden. Mit dieser Darstellung werden Rechnungen häufig vereinfacht. Die reellen trigonometrischen Polynome sind Partialsummen von reellen Fourierreihen und spielen unter anderem bei der Lösung von gewöhnlichen, linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und für die diskrete Fouriertransformation eine wichtige Rolle. In der Funktionentheorie, der Funktionalanalysis und in vielen Anwendungen, wie etwa der analytischen Zahlentheorie (siehe in diesem Artikel) wird jede beliebige komplexe Linearkombination von Funktionen mit festem reellen als komplexes trigonometrisches Polynom oder komplexe trigonometrische Summe bezeichnet. Sowohl die reellen als auch die komplexen trigonometrischen Polynome liefern eindeutige Bestapproximationen – zu jedem gegebenen Grad existiert genau eine beste Näherung unter den trigonometrischen Polynomen, die höchstens diesen Grad haben – im quadratischen Mittel für jede Funktion des Funktionenraums, den die erzeugenden trigonometrischen Funktionen jeweils als Orthonormalbasis (Orthogonalsystem) bestimmen. Lässt man in den Linearkombinationen auch unendlich viele nichtverschwindende „Summanden“ zu, dann gelangt man zu den Begriffen einer reellen bzw. komplexen trigonometrischen Reihe. (de)
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- 3-540-58821-3
- 3-519-22206-X
- 978-3-8351-0208-8
- 0-521-57347-5
- 3-540-10892-0
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- Funktionalanalysis (de)
- Einführung in die analytische Zahlentheorie (de)
- Analysis 3 (de)
- Lehrbuch der Analysis – Teil 2 (de)
- The Hardy-Littlewood Method (de)
- Representation of an Odd Number as a Sum of Three Primes (de)
- The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers (de)
- Funktionalanalysis (de)
- Einführung in die analytische Zahlentheorie (de)
- Analysis 3 (de)
- Lehrbuch der Analysis – Teil 2 (de)
- The Hardy-Littlewood Method (de)
- Representation of an Odd Number as a Sum of Three Primes (de)
- The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers (de)
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- Christian Blatter
- Ivan Matveevitch Vinogradov
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- Berlin, Heidelberg, New York
- Berlin/Heidelberg/New York
- Cambridge
- Stuttgart
- New York, Dover
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- Heidelberger Taschenbücher; Bd. 153
- Comptes rendus de l'Académie des Sciences de l'U.R.S.S
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- Translated from the Russian and annotated by Klaus Friedrich Roth and Anne Ashley Davenport
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- Cambridge University Press
- Springer
- Teubner
- Vieweg und Teubner
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- Ein trigonometrisches Polynom, auch eine trigonometrische Summe genannt, ist in der reellen Analysis eine endliche, reelle Linearkombination der trigonometrischen Funktionen und , wobei die Linearkombination als Funktion für definiert wird. Diese reellwertigen Funktionen lassen auch eine eindeutige (formal) komplexe Darstellung zu, bei der bestimmte komplexe Linearkombinationen aus den Exponentialfunktionen mit festem reellen als komplexes trigonometrisches Polynom oder komplexe trigonometrische Summe bezeichnet. (de)
- Ein trigonometrisches Polynom, auch eine trigonometrische Summe genannt, ist in der reellen Analysis eine endliche, reelle Linearkombination der trigonometrischen Funktionen und , wobei die Linearkombination als Funktion für definiert wird. Diese reellwertigen Funktionen lassen auch eine eindeutige (formal) komplexe Darstellung zu, bei der bestimmte komplexe Linearkombinationen aus den Exponentialfunktionen mit festem reellen als komplexes trigonometrisches Polynom oder komplexe trigonometrische Summe bezeichnet. (de)
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- Trigonometrisches Polynom (de)
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