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- Der Satz von Pascal (nach Blaise Pascal) ist eine Aussage in projektiven Ebenen und besagt: Für beliebige 6 Punkte eines nicht ausgearteten Kegelschnitts in einer projektiven Ebene liegen die Punkte auf einer Gerade, der Pascal-Gerade (s. Bild). Die Nummerierung gibt an, welche 6 der 15 Verbindungsgeraden der 6 Punkte benutzt werden und welche Kanten benachbart sind. Die Nummerierung ist so gewählt, dass der Kantengraph durch ein reguläres 6-Eck dargestellt werden kann. Geraden zu gegenüberliegenden Kanten des Kantengraphs werden also geschnitten. Sollen andere Kanten in die Pascalfigur eingehen, muss man die Indizes entsprechend permutieren. Für die 2. Pascal-Konfiguration wurden die Indizes 2 und 5 vertauscht (s. Bild, unten). Nichtausgeartet heißt hier: keine 3 Punkte liegen auf einer Gerade. Den Kegelschnitt kann man sich also als Ellipse vorstellen. (Ein sich schneidendes Geradenpaar ist ein ausgearteter Kegelschnitt.) Kegelschnitte sind nur in solchen projektiven Ebenen definiert, die sich über (kommutativen) Körpern koordinatisieren lassen. Beispiele von Körpern sind: die reellen Zahlen , die rationalen Zahlen , die komplexen Zahlen , endliche Körper. Jeder nicht ausgeartete Kegelschnitt einer projektiven Ebene lässt sich in geeigneten homogenen Koordinaten durch die Gleichung beschreiben (s. projektiver Kegelschnitt). Bemerkungen:
* Der Satz von Pascal ist die duale Version des Satzes von Brianchon.
* Zum Satz von Pascal gibt es Ausartungen mit 5 bzw. 4 bzw. 3 Punkten (auf einem Kegelschnitt). Bei einer Ausartung fallen zwei durch eine Kante verbundene Punkte formal zusammen und die zugehörige Sekante der Pascalfigur wird durch die Tangente in dem verbleibenden Punkt ersetzt. Siehe hierzu die Figur unten und weblink planar circlegeometries, S. 30–35. Durch eine geeignete Wahl einer Gerade der Pascalfiguren als Ferngerade ergeben sich Schließungssätze für Hyperbeln und Parabeln. Siehe Hyperbel und Parabel.
* Falls der Kegelschnitt vollständig in einer affinen Ebene enthalten ist, gibt es auch eine affine Form des Satzes: Für beliebige 6 Punkte eines nicht ausgearteten Kegelschnitts in einer affinen Ebene, für die sowohl das Geradenpaar als auch das Geradenpaar parallel sind, sind auch und parallel (s. Bild). (Die affine Form gibt es z.B. in der reellen und der rationalen affinen Ebene, aber nicht in der komplexen affinen Ebene.)
* Die Figur der sechs Punkte auf dem Kegelschnitt wird auch Hexagrammum Mysticum genannt.
* Der Satz von Pascal ist auch für ein Geradenpaar (ausgearteter Kegelschnitt) gültig und ist dann identisch mit dem Satz von Pappos-Pascal.
* Der Satz von Pascal wurde durch August Ferdinand Möbius im Jahre 1847 verallgemeinert: Angenommen, ein Polygon mit Seiten sei in einen Kegelschnitt einbeschrieben. Nun verlängert man die gegenüberliegenden Seiten, bis sie sich in Punkten schneiden. Liegen dann dieser Punkte auf einer gemeinsamen Linie, so liegt auch der letzte Punkt auf dieser Linie.
* Eine weitere Verallgemeinerung ist der Satz von Cayley-Bacharach. (de)
- Der Satz von Pascal (nach Blaise Pascal) ist eine Aussage in projektiven Ebenen und besagt: Für beliebige 6 Punkte eines nicht ausgearteten Kegelschnitts in einer projektiven Ebene liegen die Punkte auf einer Gerade, der Pascal-Gerade (s. Bild). Die Nummerierung gibt an, welche 6 der 15 Verbindungsgeraden der 6 Punkte benutzt werden und welche Kanten benachbart sind. Die Nummerierung ist so gewählt, dass der Kantengraph durch ein reguläres 6-Eck dargestellt werden kann. Geraden zu gegenüberliegenden Kanten des Kantengraphs werden also geschnitten. Sollen andere Kanten in die Pascalfigur eingehen, muss man die Indizes entsprechend permutieren. Für die 2. Pascal-Konfiguration wurden die Indizes 2 und 5 vertauscht (s. Bild, unten). Nichtausgeartet heißt hier: keine 3 Punkte liegen auf einer Gerade. Den Kegelschnitt kann man sich also als Ellipse vorstellen. (Ein sich schneidendes Geradenpaar ist ein ausgearteter Kegelschnitt.) Kegelschnitte sind nur in solchen projektiven Ebenen definiert, die sich über (kommutativen) Körpern koordinatisieren lassen. Beispiele von Körpern sind: die reellen Zahlen , die rationalen Zahlen , die komplexen Zahlen , endliche Körper. Jeder nicht ausgeartete Kegelschnitt einer projektiven Ebene lässt sich in geeigneten homogenen Koordinaten durch die Gleichung beschreiben (s. projektiver Kegelschnitt). Bemerkungen:
* Der Satz von Pascal ist die duale Version des Satzes von Brianchon.
* Zum Satz von Pascal gibt es Ausartungen mit 5 bzw. 4 bzw. 3 Punkten (auf einem Kegelschnitt). Bei einer Ausartung fallen zwei durch eine Kante verbundene Punkte formal zusammen und die zugehörige Sekante der Pascalfigur wird durch die Tangente in dem verbleibenden Punkt ersetzt. Siehe hierzu die Figur unten und weblink planar circlegeometries, S. 30–35. Durch eine geeignete Wahl einer Gerade der Pascalfiguren als Ferngerade ergeben sich Schließungssätze für Hyperbeln und Parabeln. Siehe Hyperbel und Parabel.
* Falls der Kegelschnitt vollständig in einer affinen Ebene enthalten ist, gibt es auch eine affine Form des Satzes: Für beliebige 6 Punkte eines nicht ausgearteten Kegelschnitts in einer affinen Ebene, für die sowohl das Geradenpaar als auch das Geradenpaar parallel sind, sind auch und parallel (s. Bild). (Die affine Form gibt es z.B. in der reellen und der rationalen affinen Ebene, aber nicht in der komplexen affinen Ebene.)
* Die Figur der sechs Punkte auf dem Kegelschnitt wird auch Hexagrammum Mysticum genannt.
* Der Satz von Pascal ist auch für ein Geradenpaar (ausgearteter Kegelschnitt) gültig und ist dann identisch mit dem Satz von Pappos-Pascal.
* Der Satz von Pascal wurde durch August Ferdinand Möbius im Jahre 1847 verallgemeinert: Angenommen, ein Polygon mit Seiten sei in einen Kegelschnitt einbeschrieben. Nun verlängert man die gegenüberliegenden Seiten, bis sie sich in Punkten schneiden. Liegen dann dieser Punkte auf einer gemeinsamen Linie, so liegt auch der letzte Punkt auf dieser Linie.
* Eine weitere Verallgemeinerung ist der Satz von Cayley-Bacharach. (de)
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- Der Satz von Pascal (nach Blaise Pascal) ist eine Aussage in projektiven Ebenen und besagt: Für beliebige 6 Punkte eines nicht ausgearteten Kegelschnitts in einer projektiven Ebene liegen die Punkte auf einer Gerade, der Pascal-Gerade (s. Bild). Nichtausgeartet heißt hier: keine 3 Punkte liegen auf einer Gerade. Den Kegelschnitt kann man sich also als Ellipse vorstellen. (Ein sich schneidendes Geradenpaar ist ein ausgearteter Kegelschnitt.) , die rationalen Zahlen , die komplexen Zahlen beschreiben (s. projektiver Kegelschnitt). Bemerkungen: als auch das Geradenpaar parallel sind, sind auch und (de)
- Der Satz von Pascal (nach Blaise Pascal) ist eine Aussage in projektiven Ebenen und besagt: Für beliebige 6 Punkte eines nicht ausgearteten Kegelschnitts in einer projektiven Ebene liegen die Punkte auf einer Gerade, der Pascal-Gerade (s. Bild). Nichtausgeartet heißt hier: keine 3 Punkte liegen auf einer Gerade. Den Kegelschnitt kann man sich also als Ellipse vorstellen. (Ein sich schneidendes Geradenpaar ist ein ausgearteter Kegelschnitt.) , die rationalen Zahlen , die komplexen Zahlen beschreiben (s. projektiver Kegelschnitt). Bemerkungen: als auch das Geradenpaar parallel sind, sind auch und (de)
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