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- Ein Raum ist in der Mathematik eine Menge mathematischer Objekte mit einer zusätzlichen mathematischen Struktur. Als zentrales Beispiel besteht ein Vektorraum aus einer Menge von Objekten, genannt Vektoren, die addiert oder mit einem Skalar (etwa einer Zahl) multipliziert werden können, sodass das Ergebnis wieder ein Vektor desselben Vektorraums ist und das Assoziativ- sowie die Distributivgesetze gelten. Als mathematische Objekte können dabei beispielsweise reelle oder komplexe Zahlen, Zahlentupel, Matrizen oder Funktionen dienen. Der Begriff „Raum“ hat sich in der Mathematik im Laufe der Zeit stark gewandelt. Während in der klassischen Mathematik unter Raum der dreidimensionale Anschauungsraum verstanden wird, dessen geometrische Eigenschaften vollständig durch Axiome definiert werden, sind Räume in der modernen Mathematik lediglich abstrakte mathematische Strukturen, die auf unterschiedlichen Konzepten des Begriffs der Dimension basieren und deren Eigenschaften nicht vollständig durch Axiome definiert werden. Einen ähnlichen Wandel hat seit dem 20. Jahrhundert auch der Begriff des Raumes in der Physik erlebt. Mathematische Räume lassen sich auf verschiedenen Ebenen klassifizieren, etwa nach Vergleichbarkeit, nach Unterscheidbarkeit und nach Isomorphie. Räume bilden oft eine Hierarchie, das heißt ein Raum erbt alle Eigenschaften eines übergeordneten Raums. Beispielsweise sind alle Skalarprodukträume auch normierte Räume, da das Skalarprodukt eine Norm (die Skalarproduktnorm) auf dem Skalarproduktraum induziert. Räume werden heute in fast allen Bereichen der Mathematik eingesetzt, so beschäftigt sich etwa die lineare Algebra mit Vektorräumen, die Analysis mit Folgen- und Funktionenräumen, die Geometrie mit affinen und projektiven Räumen, die Topologie mit topologischen und uniformen Räumen, die Funktionalanalysis mit metrischen und normierten Räumen, die Differentialgeometrie mit Mannigfaltigkeiten, die Maßtheorie mit Mess- und Maßräumen und die Stochastik mit Wahrscheinlichkeitsräumen. (de)
- Ein Raum ist in der Mathematik eine Menge mathematischer Objekte mit einer zusätzlichen mathematischen Struktur. Als zentrales Beispiel besteht ein Vektorraum aus einer Menge von Objekten, genannt Vektoren, die addiert oder mit einem Skalar (etwa einer Zahl) multipliziert werden können, sodass das Ergebnis wieder ein Vektor desselben Vektorraums ist und das Assoziativ- sowie die Distributivgesetze gelten. Als mathematische Objekte können dabei beispielsweise reelle oder komplexe Zahlen, Zahlentupel, Matrizen oder Funktionen dienen. Der Begriff „Raum“ hat sich in der Mathematik im Laufe der Zeit stark gewandelt. Während in der klassischen Mathematik unter Raum der dreidimensionale Anschauungsraum verstanden wird, dessen geometrische Eigenschaften vollständig durch Axiome definiert werden, sind Räume in der modernen Mathematik lediglich abstrakte mathematische Strukturen, die auf unterschiedlichen Konzepten des Begriffs der Dimension basieren und deren Eigenschaften nicht vollständig durch Axiome definiert werden. Einen ähnlichen Wandel hat seit dem 20. Jahrhundert auch der Begriff des Raumes in der Physik erlebt. Mathematische Räume lassen sich auf verschiedenen Ebenen klassifizieren, etwa nach Vergleichbarkeit, nach Unterscheidbarkeit und nach Isomorphie. Räume bilden oft eine Hierarchie, das heißt ein Raum erbt alle Eigenschaften eines übergeordneten Raums. Beispielsweise sind alle Skalarprodukträume auch normierte Räume, da das Skalarprodukt eine Norm (die Skalarproduktnorm) auf dem Skalarproduktraum induziert. Räume werden heute in fast allen Bereichen der Mathematik eingesetzt, so beschäftigt sich etwa die lineare Algebra mit Vektorräumen, die Analysis mit Folgen- und Funktionenräumen, die Geometrie mit affinen und projektiven Räumen, die Topologie mit topologischen und uniformen Räumen, die Funktionalanalysis mit metrischen und normierten Räumen, die Differentialgeometrie mit Mannigfaltigkeiten, die Maßtheorie mit Mess- und Maßräumen und die Stochastik mit Wahrscheinlichkeitsräumen. (de)
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- Elements of mathematics (de)
- Elements of mathematics: Theory of sets (de)
- Elements of the history of mathematics (de)
- Encyclopedic dictionary of mathematics (de)
- The Princeton Companion to Mathematics (de)
- Elements of mathematics (de)
- Elements of mathematics: Theory of sets (de)
- Elements of the history of mathematics (de)
- Encyclopedic dictionary of mathematics (de)
- The Princeton Companion to Mathematics (de)
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- Princeton University Press
- Masson (Original), Springer (engl. Übersetzung)
- Hermann (Original), Addison-Wesley (engl. Übersetzung)
- Mathematical society of Japan (Original), MIT press (engl. Übersetzung)
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- Ein Raum ist in der Mathematik eine Menge mathematischer Objekte mit einer zusätzlichen mathematischen Struktur. Als zentrales Beispiel besteht ein Vektorraum aus einer Menge von Objekten, genannt Vektoren, die addiert oder mit einem Skalar (etwa einer Zahl) multipliziert werden können, sodass das Ergebnis wieder ein Vektor desselben Vektorraums ist und das Assoziativ- sowie die Distributivgesetze gelten. Als mathematische Objekte können dabei beispielsweise reelle oder komplexe Zahlen, Zahlentupel, Matrizen oder Funktionen dienen. (de)
- Ein Raum ist in der Mathematik eine Menge mathematischer Objekte mit einer zusätzlichen mathematischen Struktur. Als zentrales Beispiel besteht ein Vektorraum aus einer Menge von Objekten, genannt Vektoren, die addiert oder mit einem Skalar (etwa einer Zahl) multipliziert werden können, sodass das Ergebnis wieder ein Vektor desselben Vektorraums ist und das Assoziativ- sowie die Distributivgesetze gelten. Als mathematische Objekte können dabei beispielsweise reelle oder komplexe Zahlen, Zahlentupel, Matrizen oder Funktionen dienen. (de)
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- Raum (Mathematik) (de)
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