| Property |
Value |
| dbo:abstract
|
- Das Parallelenaxiom ist ein viel diskutiertes Axiom der euklidischen Geometrie. In einer häufig gebrauchten, auf John Playfair zurückgehenden Formulierung besagt es: In einer Ebene gibt es zu jeder Geraden und jedem Punkt außerhalb von genau eine Gerade, die zu parallel ist und durch den Punkt geht. „Parallel“ bedeutet dabei, dass die Geraden in einer Ebene liegen, aber keinen gemeinsamen Punkt haben. Diese eindeutig bestimmte Gerade heißt die Parallele zu durch den Punkt . In den Elementen des Euklid findet sich dieser Satz als das fünfte Postulat (Parallelenpostulat) in folgender Formulierung: „Gefordert soll sein: … dass, wenn eine gerade Linie [] beim Schnitt mit zwei geraden Linien [und ] bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel [und ] zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien [und ] bei Verlängerung ins Unendliche sich treffen auf der Seite [von ], auf der die Winkel [und ] liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.“ Dies besagt in moderner Formulierung, dass es zu jeder Geraden und jedem Punkt nicht mehr als eine Parallele zu durch geben kann. Dass es mindestens eine solche Parallele gibt, lässt sich aber aus den übrigen Postulaten und Axiomen des Euklid beweisen, sodass die eingangs angegebene Formulierung gerechtfertigt ist. Die Benennung des Parallelenpostulats schwankt in der Literatur. Häufig wird es das Fünfte Postulat von Euklid (Elemente, Buch 1) genannt, manchmal wurde es aber auch 11. Axiom oder 13. Axiom genannt. (de)
- Das Parallelenaxiom ist ein viel diskutiertes Axiom der euklidischen Geometrie. In einer häufig gebrauchten, auf John Playfair zurückgehenden Formulierung besagt es: In einer Ebene gibt es zu jeder Geraden und jedem Punkt außerhalb von genau eine Gerade, die zu parallel ist und durch den Punkt geht. „Parallel“ bedeutet dabei, dass die Geraden in einer Ebene liegen, aber keinen gemeinsamen Punkt haben. Diese eindeutig bestimmte Gerade heißt die Parallele zu durch den Punkt . In den Elementen des Euklid findet sich dieser Satz als das fünfte Postulat (Parallelenpostulat) in folgender Formulierung: „Gefordert soll sein: … dass, wenn eine gerade Linie [] beim Schnitt mit zwei geraden Linien [und ] bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel [und ] zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien [und ] bei Verlängerung ins Unendliche sich treffen auf der Seite [von ], auf der die Winkel [und ] liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.“ Dies besagt in moderner Formulierung, dass es zu jeder Geraden und jedem Punkt nicht mehr als eine Parallele zu durch geben kann. Dass es mindestens eine solche Parallele gibt, lässt sich aber aus den übrigen Postulaten und Axiomen des Euklid beweisen, sodass die eingangs angegebene Formulierung gerechtfertigt ist. Die Benennung des Parallelenpostulats schwankt in der Literatur. Häufig wird es das Fünfte Postulat von Euklid (Elemente, Buch 1) genannt, manchmal wurde es aber auch 11. Axiom oder 13. Axiom genannt. (de)
|
| dbo:author
| |
| dbo:isbn
|
- 3-519-00237-X
- 3-540-11646-X
- 3-7643-5685-5
|
| dbo:originalTitle
|
- Grundlagen der Geometrie (de)
- Angeordnete Strukturen (de)
- Die euklidische Ebene und ihre Verwandten (de)
- Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss (de)
- Grundlagen der Geometrie (de)
- Angeordnete Strukturen (de)
- Die euklidische Ebene und ihre Verwandten (de)
- Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss (de)
|
| dbo:thumbnail
| |
| dbo:wikiPageExternalLink
| |
| dbo:wikiPageID
| |
| dbo:wikiPageRevisionID
| |
| prop-de:auflage
| |
| prop-de:band
| |
| prop-de:jahr
|
- 1895 (xsd:integer)
- 1899 (xsd:integer)
- 1983 (xsd:integer)
- 1999 (xsd:integer)
|
| prop-de:kommentar
|
- Das in dieser Schrift formulierte Axiomensystem der reell-euklidischen Geometrie und der reell-hyperbolischen Geometrie stellt für das 20. Jahrhundert die wichtigste Grundlage für die Diskussion des Parallelenaxioms und der nichteuklidischen Geometrien dar
- Zur „vormodernen“ Geschichte des Begriffs
- Ausführliche Diskussion der Anordnungsmöglichkeiten für projektive Ebenen, vom algebraischen , synthetischen und topologischen Standpunkt aus
|
| prop-de:online
| |
| prop-de:ort
|
- Basel/Boston/Berlin
- Berlin/Heidelberg/New York
- Leipzig
- Stuttgart/Leipzig
|
| prop-de:reihe
|
- Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete
|
| prop-de:titelerg
|
- Gruppen, Körper, projektive Ebenen
|
| prop-de:title
| |
| prop-de:urlname
| |
| prop-de:zugriff
|
- 2013-07-25 (xsd:date)
- 2013-07-26 (xsd:date)
|
| dc:publisher
|
- Birkhäuser
- Springer
- Teubner
|
| dct:subject
| |
| rdf:type
| |
| rdfs:comment
|
- Das Parallelenaxiom ist ein viel diskutiertes Axiom der euklidischen Geometrie. In einer häufig gebrauchten, auf John Playfair zurückgehenden Formulierung besagt es: In einer Ebene gibt es zu jeder Geraden und jedem Punkt außerhalb von genau eine Gerade, die zu parallel ist und durch den Punkt geht. „Parallel“ bedeutet dabei, dass die Geraden in einer Ebene liegen, aber keinen gemeinsamen Punkt haben. Diese eindeutig bestimmte Gerade heißt die Parallele zu durch den Punkt . ] beim Schnitt mit zwei geraden Linien [und ] bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel [und und und und jedem Punkt (de)
- Das Parallelenaxiom ist ein viel diskutiertes Axiom der euklidischen Geometrie. In einer häufig gebrauchten, auf John Playfair zurückgehenden Formulierung besagt es: In einer Ebene gibt es zu jeder Geraden und jedem Punkt außerhalb von genau eine Gerade, die zu parallel ist und durch den Punkt geht. „Parallel“ bedeutet dabei, dass die Geraden in einer Ebene liegen, aber keinen gemeinsamen Punkt haben. Diese eindeutig bestimmte Gerade heißt die Parallele zu durch den Punkt . ] beim Schnitt mit zwei geraden Linien [und ] bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel [und und und und jedem Punkt (de)
|
| rdfs:label
|
- Parallelenaxiom (de)
- Parallelenaxiom (de)
|
| owl:sameAs
| |
| prov:wasDerivedFrom
| |
| foaf:depiction
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is dbo:wikiPageRedirects
of | |
| is foaf:primaryTopic
of | |
