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- Die hyperbolische Geometrie (auch Lobatschewskische Geometrie oder Lobatschewski-Geometrie genannt) ist ein Beispiel für eine nichteuklidische Geometrie, das man erhält, wenn man zu den Axiomen der absoluten Geometrie anstelle des Parallelenaxioms, das die euklidischen Geometrien kennzeichnet, das diesem widersprechende hyperbolische Axiom hinzunimmt. Dieses besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P (der nicht auf g liegt) nicht wie in der euklidischen Geometrie nur genau eine, sondern mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel sind. Dass zwei Geraden „parallel“ zueinander sind, bedeutet hier aber lediglich, dass sie in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben, nicht dass sie überall den gleichen Abstand haben (h und i haben nur einen gemeinsamen Punkt P). Es lässt sich zeigen, dass es dann zu einer beliebigen Geraden g durch jeden Punkt außerhalb von g unendlich viele Nichtschneidende („Parallelen“) gibt, die in der durch den Punkt und die Gerade bestimmten Ebene liegen. Zwei davon sind in einer Grenzlage und heißen grenzparallel (auch: horoparallel) zur Geraden, während die restlichen Geraden überparallel (auch: hyperparallel) genannt werden. (de)
- Die hyperbolische Geometrie (auch Lobatschewskische Geometrie oder Lobatschewski-Geometrie genannt) ist ein Beispiel für eine nichteuklidische Geometrie, das man erhält, wenn man zu den Axiomen der absoluten Geometrie anstelle des Parallelenaxioms, das die euklidischen Geometrien kennzeichnet, das diesem widersprechende hyperbolische Axiom hinzunimmt. Dieses besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P (der nicht auf g liegt) nicht wie in der euklidischen Geometrie nur genau eine, sondern mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel sind. Dass zwei Geraden „parallel“ zueinander sind, bedeutet hier aber lediglich, dass sie in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben, nicht dass sie überall den gleichen Abstand haben (h und i haben nur einen gemeinsamen Punkt P). Es lässt sich zeigen, dass es dann zu einer beliebigen Geraden g durch jeden Punkt außerhalb von g unendlich viele Nichtschneidende („Parallelen“) gibt, die in der durch den Punkt und die Gerade bestimmten Ebene liegen. Zwei davon sind in einer Grenzlage und heißen grenzparallel (auch: horoparallel) zur Geraden, während die restlichen Geraden überparallel (auch: hyperparallel) genannt werden. (de)
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- 3-519-00237-X
- 3-8171-1583-0
- 3-540-06136-3
- 9780198539353
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- Grundlagen der Geometrie (de)
- Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff (de)
- Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic (de)
- Euklidische und nichteuklidische Elementargeometrien (de)
- Grundlagen der Geometrie (de)
- Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff (de)
- Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic (de)
- Euklidische und nichteuklidische Elementargeometrien (de)
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| prop-de:autor
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- Benno Klotzek
- Jeremy Gray
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- 1973 (xsd:integer)
- 1989 (xsd:integer)
- 2001 (xsd:integer)
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| prop-de:kapitel
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- V: Hyperbolische Geometrie und §20.13:Hilbert-Ebenen
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| prop-de:kommentar
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- Elementar heißt hier nicht einfach: Lösung von Konstruktionsaufgaben und Koordinatisierungen der „klassischen“ nichteuklidischen Geometrien
- Definiert Absolute Geometrie sehr allgemein, erläutert vor diesem Hintergrund die Besonderheiten der reellen hyperbolischen Geometrie
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| prop-de:online
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| prop-de:ort
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- Berlin/Heidelberg/New York
- Frankfurt am Main
- Oxford
- Stuttgart/Leipzig
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| prop-de:zugriff
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| dc:publisher
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- Harri Deutsch
- Oxford University Press
- Springer
- Teubner
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- Die hyperbolische Geometrie (auch Lobatschewskische Geometrie oder Lobatschewski-Geometrie genannt) ist ein Beispiel für eine nichteuklidische Geometrie, das man erhält, wenn man zu den Axiomen der absoluten Geometrie anstelle des Parallelenaxioms, das die euklidischen Geometrien kennzeichnet, das diesem widersprechende hyperbolische Axiom hinzunimmt. Dieses besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P (der nicht auf g liegt) nicht wie in der euklidischen Geometrie nur genau eine, sondern mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel sind. Dass zwei Geraden „parallel“ zueinander sind, bedeutet hier aber lediglich, dass sie in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben, nicht dass sie überall den gleichen Abstand haben (h und i haben nur (de)
- Die hyperbolische Geometrie (auch Lobatschewskische Geometrie oder Lobatschewski-Geometrie genannt) ist ein Beispiel für eine nichteuklidische Geometrie, das man erhält, wenn man zu den Axiomen der absoluten Geometrie anstelle des Parallelenaxioms, das die euklidischen Geometrien kennzeichnet, das diesem widersprechende hyperbolische Axiom hinzunimmt. Dieses besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P (der nicht auf g liegt) nicht wie in der euklidischen Geometrie nur genau eine, sondern mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel sind. Dass zwei Geraden „parallel“ zueinander sind, bedeutet hier aber lediglich, dass sie in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben, nicht dass sie überall den gleichen Abstand haben (h und i haben nur (de)
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- Hyperbolische Geometrie (de)
- Hyperbolische Geometrie (de)
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