Das Heisenberg-Modell in der quantenmechanischen Formulierung ist ein in der Theoretischen Physik viel benutztes mathematisches Modell zur Beschreibung von Ferromagnetismus in Festkörpern.
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- Das Heisenberg-Modell in der quantenmechanischen Formulierung ist ein in der Theoretischen Physik viel benutztes mathematisches Modell zur Beschreibung von Ferromagnetismus in Festkörpern. 1928 haben Werner Heisenberg und Paul Dirac erkannt, dass Ferromagnetismus in einem Festkörper durch einen effektiven Hamiltonoperator beschrieben werden kann, der die quantenmechanischen Ortsfunktionen nicht enthält, da er lediglich aus wechselwirkenden lokalisierten Elektronenspins auf einem Gitter aufgebaut ist. Die Wechselwirkung ist dabei (zunächst) reduziert auf benachbarte Spins (nächste-Nachbar-Wechselwirkung): Dabei sind die und die bekannten quantenmechanischen Vektoroperatoren zu gegebener Spinquantenzahl s ({1/2, 1, 3/2, 2,... }). Die Indizes i und j beziehen sich auf die Gitterpositionen, wobei unter dem Gitter eine Kette (1-dimensionales Heisenberg-Modell), ein zweidimensionales Gitter (z. B. ein hexagonales Gitter) oder eine dreidimensionale Anordnung (z. B. ein kubisches Gitter) gemeint sein können. Der Spin hingegen ist beim Heisenberg-Modell immer dreidimensional, weshalb es auch als Spezialfall des n-Vektor-Modells mit bezeichnet wird. Ziel der Betrachtung ist es, experimentell beobachtete Effekte wie die spontane Magnetisierung und die kritischen Exponenten an den Phasenübergängen zu modellieren. Die Austauschwechselwirkung zwischen den lokalisierten Spins wird durch die Coulomb-Abstoßung und das Pauli-Prinzip verursacht und bei Beschränkung auf nächste-Nachbar-Wechselwirkung und Isotropie (siehe unten) mit einer einzigen Kopplungskonstante, der sogenannten Austauschenergie, ausgedrückt. Das Modell ist geeignet um Ferromagnetismus in Isolatoren qualitativ zu beschreiben, versagt aber bei den meisten Metallen (hier ist das Hubbard-Modell besser geeignet). Das Modell kann durch eine Verallgemeinerung der Heitler-London-Näherung für die Bildung zweiatomiger Moleküle begründet werden (siehe das einschlägige Unterkapitel in Magnetismus). Für eindimensionale Systeme kann es exakt gelöst werden; in zwei und drei Dimensionen gibt es dagegen nur genäherte Lösungen, z. B. mit Quanten-Monte-Carlo-Methoden. Im Gegensatz zum klassischen Heisenberg-Modell werden die Spins durch Operatoren ausgedrückt und gehorchen den Regeln der Quantenmechanik.
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- Das Heisenberg-Modell in der quantenmechanischen Formulierung ist ein in der Theoretischen Physik viel benutztes mathematisches Modell zur Beschreibung von Ferromagnetismus in Festkörpern.
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- Heisenberg-Modell (Quantenmechanik)
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