. "138091086"^^ . . . . . . "Ein Kreuzzahlr\u00E4tsel ist ein R\u00E4tsel, das ein Schema aus K\u00E4stchen wie ein Kreuzwortr\u00E4tsel hat, in das aber statt W\u00F6rtern Zahlen einzutragen sind. F\u00FCr diese Zahlen werden analog wie beim Kreuzwortr\u00E4tsel Bedingungen angegeben, meist arithmetische; so k\u00F6nnte etwa die Bedingung f\u00FCr eine zu findende 36 auf \u201Eist Quadratzahl\u201C lauten. \u00D6fter als bei Kreuzwortr\u00E4tseln formuliert die Bedingung an eine Zahl auch einen Zusammenhang mit einer oder mehreren der anderen Zahlen im Schema, z.B.: \u201Eist Summe von A waagerecht und B senkrecht\u201C. Kreuzzahlr\u00E4tsel sind schwierig, indem die gesuchten Zahlen in der Regel nicht auf einen Schlag eingetragen werden k\u00F6nnen; vielmehr muss man durch Verwendung von schon Bekanntem und von Angaben zu anderen, querlaufenden oder anderswie eingehenden Zahlen st\u00FCckweise Wissen \u00FCber einzelne Ziffern ansammeln und weiterverwenden, bis dann irgendwo der Inhalt eines K\u00E4stchens feststeht und eingetragen werden kann. Im Beispiel der gesuchten Quadratzahl 36 von oben k\u00F6nnte man beispielsweise aus anderen Angaben oder \u00DCberlegungen schon wissen, dass die erste Ziffer 1, 2 oder 3 ist; damit ist dann die letzte auf 5 oder 6 eingeschr\u00E4nkt, da als Quadratzahlen nun nur noch 16, 25 oder 36 infrage kommen. Ist f\u00FCr die erste nur mehr 1 oder 3 m\u00F6glich, steht die 6 als Wert der letzten definitiv schon fest und kann eingetragen werden, obwohl noch nicht alle Ziffern der hier gesuchten Quadratzahl bestimmt sind. Vorteilhaft ist es oft, nach m\u00F6glichst stark einschr\u00E4nkenden Bedingungen Ausschau zu halten. Bei zwei einzutragenden Zahlen gleicher Ziffernl\u00E4nge ist beispielsweise eine mit Bedingung \u201Eist Biquadrat\u201C (also Quadrat eines Quadrates) ohne Vorwissen st\u00E4rker eingeschr\u00E4nkt als eine mit Bedingung \u201Eist Quadratzahl\u201C; den es gibt hier 100 Quadrate mit vier Ziffern, n\u00E4mlich 0*0 = 0000, 1*1 = 0001, \u2026 99*99 = 9801, jedoch nur 10 Biquadrate mit vier Ziffern, n\u00E4mlich 0*0*0*0 = 0000, 1*1*1*1 = 0001, \u2026 9*9*9*9 = 6561, und dazu sind bei der Biquadratbedingung auch die M\u00F6glichkeiten an den einzelnen Stellen st\u00E4rker eingeengt: An erster Stelle beim Quadrat kann jede Ziffer stehen, beim Biquadrat dagegen nur 0, 1, 2, 4, 6. Weniger F\u00E4lle f\u00FCr eine Einzelzahl f\u00FChren in der Tendenz zu weniger F\u00E4llen f\u00FCr ein Einzelk\u00E4stchen. Das L\u00F6sen harter Kreuzzahlr\u00E4tsel ist oft kaum m\u00F6glich, ohne dass der L\u00F6ser Nebenrechnungen auf Papier anstellt oder sich sogar zur Ged\u00E4chtnisst\u00FCtze Hilfstabellen f\u00FCr m\u00F6gliche Eintr\u00E4ge oder Eintrags-Kombinationen anlegt und sp\u00E4ter ggf. aktualisiert. Ohne Notate schwierig und fehlertr\u00E4chtig ist auch das Verfolgen von Hypothesen \u00FCber l\u00E4ngere Schlussketten, mit deren Widerlegung man etwa in einem bestimmten K\u00E4stchen einen Teil der noch m\u00F6glichen Ziffern ausschlie\u00DFen kann. Wegen des Aufwandes kommt es gerade hier darauf an, sich eng auf das Aussichtsreiche zu beschr\u00E4nken und sich nicht auf Exhaustion einzulassen, wo andere Wege m\u00FCheloser Teilergebnisse liefern. Geschicktes L\u00F6sen st\u00FCtzt sich vor allem darauf, zu erkennen, welche der Angaben einen schnell weiterverwendbaren Ertrag liefern, insbesondere aber, welche unter Verwendung des inzwischen schon erworbenen Teilwissens nun \u201Ereif\u201C sein m\u00F6gen, eine weitere Ziffer definitiv festzulegen. Damit kann der L\u00F6ser m\u00FChselige Fallunterscheidungen und schriftliche Hilfstabellen vermeiden, die auf ungeschickterem Wege unumg\u00E4nglich w\u00FCrden. Auf diese Weise k\u00F6nnen Kreuzzahlr\u00E4tsel auch automatisch von einem Computer gel\u00F6st werden. Typische Bedingungen in den Definitionen sind etwa: \n* \u201Eist gerade\u201C \n* \u201Eist Quadratzahl\u201C \n* \u201Eist Primzahl\u201C \n* \u201Eist Palindrom\u201C \n* \u201Edie dieselbe Zahl wie \u2026\u201C \n* \u201Edie Quersumme ist \u2026\u201C \n* \u201Eist Quadratzahl von \u2026\u201C \n* \u201Eist Produkt aus \u2026 und \u2026\u201C \n* \u201Eist Vielfaches von \u2026\u201C \n* \u201Ejede folgende Ziffer ist kleiner als die vorangehende\u201C Die Forderung, dass eine Zahl Primzahl sein muss, erlaubt zum Beispiel f\u00FCr sie nur die Endziffern 1,2,3,5,7,9; bei zwei- oder mehrstelligen Primzahlen und Verbot der 0 sogar nur die Endziffern 1,3,7,9. Jedes Quadrat hat als Endziffer 0, 1, 4, 5, 6 oder 9. Ist ausgesagt, dass eine vierstellige Zahl Quadrat einer zweistelligen ist, und wei\u00DF man au\u00DFerdem schon, dass die vierstellige keine f\u00FChrende 0 hat, so kann die Anfangsziffer der zweistelligen nicht kleiner als 3 sein, weil 1024 = 32 * 32 das erste Quadrat gr\u00F6\u00DFer als 0999 ist. Usw. Zu gut gestellten Kreuzzahlr\u00E4tsel gibt es genau eine L\u00F6sung, die mit allen Vorgaben zusammengeht. Die Null kommt in solchen R\u00E4tseln in der Regel nicht vor; oft wird das stillschweigend vorausgesetzt, was dann dem L\u00F6ser erst klar werden mag, wenn er entdeckt, dass er ohne diese Voraussetzung zwei oder mehr L\u00F6sungen f\u00E4nde. H\u00E4ufig gibt es Vorgaben, die zur L\u00F6sung logisch gar nicht ben\u00F6tigt w\u00FCrden, aber den Weg dorthin sehr erleichtern k\u00F6nnen. Manche R\u00E4tselsteller sorgen daf\u00FCr, dass ihre Aufgabe mit und ohne Verbot der Null gleicherma\u00DFen eindeutig l\u00F6sbar ist, oder sie kennzeichnen bestimmte Angaben ausdr\u00FCcklich als f\u00FCrs L\u00F6sen verzichtbar; damit hat der R\u00E4tsell\u00F6ser dann die Wahl zwischen verschiedenen Schwierigkeitsstufen, indem er diese verwendet oder nicht. Neben den h\u00E4ufigen Kreuzzahlr\u00E4tseln, f\u00FCr deren L\u00F6sung man nur Arithmetik oder allenfalls wenig mehr mathematisches Wissen braucht, lassen andere externes Bildungswissen in die Zahlbedingungen eingehen, etwa durch eine Bedingung wie ist das Geburtsjahr von Mozart. Kreuzzahlr\u00E4tsel werden mittlerweile auch in Schulen eingesetzt, um den Mathematikunterricht abwechslungsreicher zu gestalten. Diverse Unterrichtsmaterialien dazu bieten verschiedene Verlage an."@de . "1542119"^^ . . "Ein Kreuzzahlr\u00E4tsel ist ein R\u00E4tsel, das ein Schema aus K\u00E4stchen wie ein Kreuzwortr\u00E4tsel hat, in das aber statt W\u00F6rtern Zahlen einzutragen sind. F\u00FCr diese Zahlen werden analog wie beim Kreuzwortr\u00E4tsel Bedingungen angegeben, meist arithmetische; so k\u00F6nnte etwa die Bedingung f\u00FCr eine zu findende 36 auf \u201Eist Quadratzahl\u201C lauten. \u00D6fter als bei Kreuzwortr\u00E4tseln formuliert die Bedingung an eine Zahl auch einen Zusammenhang mit einer oder mehreren der anderen Zahlen im Schema, z.B.: \u201Eist Summe von A waagerecht und B senkrecht\u201C. Typische Bedingungen in den Definitionen sind etwa:"@de . . . . . "Kreuzzahlr\u00E4tsel"@de . . . . .